Un polynôme constant qui ne le paraît pas

Posons $Q=P-1$. Alors $Q\in {\mathbb{R}}_3[x]$ — retrancher une constante ne fait pas monter le degré — et

$$Q(0)=Q(1)=Q(2)=Q(3)=0.$$

$Q$ possède donc quatre racines distinctes tout en étant de degré au plus $3$. Un polynôme non nul de degré $\le 3$ en a au plus $3$ : donc $Q=0$, c'est-à-dire

$$P=1.$$

L'astuce, et sa portée. Ramener une égalité de valeurs à une question de racines en soustrayant est le geste standard. Il donne aussitôt le principe d'identification : deux polynômes de degré $\le n$ qui coïncident en $n+1$ points sont égaux — il suffit d'appliquer ce qui précède à leur différence.

C'est aussi ce qui fonde l'interpolation : par $n+1$ points d'abscisses distinctes passe un et un seul polynôme de degré $\le n$.