Un polynôme pair, coefficient par coefficient

Ce qu'on montre. Une équivalence entre une propriété de la fonction et une propriété des coefficients. Écrivons $P={\sum }_{k=0}^n{a}_k{x}^k$.

Sens facile. Supposons $a_k=0$ pour tout $k$ impair. Alors $P={\sum }_{k\text{ pair}}{a}_k{x}^k$, et pour tout réel $x$, $$P(-x)=\sum _{k\text{ pair}}{a}_k(-x{)}^k=\sum _{k\text{ pair}}{a}_k(-1{)}^k{x}^k=\sum _{k\text{ pair}}{a}_k{x}^k=P(x),$$ puisque $(-1{)}^k=1$ pour $k$ pair.

Sens réciproque. Supposons $P(-x)=P(x)$ pour tout réel $x$, et considérons le polynôme $$Q(x)=P(x)-P(-x)=\sum _{k=0}^n{a}_k(1-(-1{)}^k)x^k=2\sum _{k\text{ impair}}{a}_k{x}^k.$$ Par hypothèse, $Q(x)=0$ pour tout réel $x$ : $Q$ admet une infinité de racines.

Or un polynôme non nul de degré $m$ admet au plus $m$ racines : $Q$ est donc le polynôme nul, et tous ses coefficients sont nuls. Ces coefficients sont exactement les $2a_k$ pour $k$ impair, d'où $a_k=0$ pour tout $k$ impair.

Point délicat. Le passage « la fonction est nulle donc le polynôme est nul » n'est pas une évidence de notation : il repose sur le théorème du nombre de racines. C'est lui qui autorise l'identification des coefficients, employée sans cesse par la suite.

Contrôle. $P=x^4-3x^2+5$ vérifie $P(-x)=P(x)$ ; $P=x^4+x$ ne le vérifie pas, et $P(-1)=0\ne 2=P(1)$.