Un polynôme périodique est constant

Ce qu'on montre. Que la seule façon pour un polynôme d'être périodique est d'être constant. L'outil décisif est : un polynôme de degré $\le n$ ayant plus de $n$ racines est le polynôme nul.

Construction d'un polynôme auxiliaire. Posons $c=P(0)$ et $Q=P-c$. C'est un polynôme, et $Q$ vérifie encore la relation : pour tout réel $x$, $$Q(x+1)=P(x+1)-c=P(x)-c=Q(x).$$ De plus $Q(0)=P(0)-c=0$.

$Q$ a une infinité de racines. Montrons par récurrence que $Q(n)=0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

• Initialisation : $Q(0)=0$.
• Hérédité : soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $Q(n)=0$. En appliquant la relation en $x=n$ : $Q(n+1)=Q(n)=0$.

Donc $Q$ s'annule en tous les entiers naturels : il admet une infinité de racines.

Conclusion sur $Q$. Supposons $Q\ne 0$ et notons $n=\mathrm{deg}Q\ge 0$. Un polynôme non nul de degré $n$ admet au plus $n$ racines : en effet, chaque racine fournit un facteur $(x-a)$, et le produit de ces facteurs, qui divise $Q$, a un degré au plus $n$. Or $Q$ en a une infinité — contradiction. Donc $Q=0$, c'est-à-dire $$P=c\text{(polynoˆme constant)}.$$

Point délicat. C'est bien un raisonnement par l'absurde sur le degré, et non un calcul. La relation $P(x+1)=P(x)$ ne se « résout » pas coefficient par coefficient sans peine ; en revanche elle fabrique gratuitement une infinité de racines, et c'est là que le degré fini devient une contrainte fatale.

Contrôle de la réciproque. Tout polynôme constant vérifie évidemment $P(x+1)=P(x)$ : les constantes sont donc exactement les solutions.