Une division euclidienne à deux paramètres

Ce qu'on montre. Le couple $(Q,R)$ de la division, puis la condition $R=0$.

La division, pas à pas. On élimine à chaque étape le terme de plus haut degré.

• $x^4=x^2(x^2+x+1)-x^3-x^2$, donc le quotient commence par $x^2$ et il reste $-x^3+(a-1)x^2+b$.
• $-x^3=-x(x^2+x+1)+x^2+x$, donc le quotient reçoit $-x$ et il reste $a{x}^2+x+b$.
• $a{x}^2=a(x^2+x+1)-ax-a$, donc le quotient reçoit $+a$ et il reste $(1-a)x+(b-a)$.

Le reste est maintenant de degré $\le 1<2=\mathrm{deg}B$ : la division s'arrête. Ainsi $$x^4+a{x}^2+b=(x^2+x+1)(x^2-x+a)+(1-a)x+(b-a).$$

Contrôle. Développons le produit : $$(x^2+x+1)(x^2-x+a)=x^4-x^3+a{x}^2+x^3-x^2+ax+x^2-x+a=x^4+a{x}^2+(a-1)x+a.$$ En lui ajoutant le reste $(1-a)x+(b-a)$, les termes en $x$ se compensent et il vient $x^4+a{x}^2+b$. L'identité est vérifiée.

Condition de divisibilité. $B$ divise $A$ si et seulement si le reste est le polynôme nul, c'est-à-dire si et seulement si chacun de ses coefficients est nul : $$1-a=0\text{et}b-a=0,\text{soit}a=1\text{ et }b=1.$$

Point délicat. « Reste nul » ne signifie pas « reste nul en un point » : il faut annuler tous les coefficients. On retrouve alors l'identité classique $$x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1).$$