Une division euclidienne

On pose la division suivant les puissances décroissantes :

$$x^4+x^2-2=(x^2-1)(x^2+2)+0.$$

Le quotient est $x^2+2$ et le reste est nul : $x^2-1$ divise $x^4+x^2-2$.

Vérification en développant : $(x^2-1)(x^2+2)=x^4+2x^2-x^2-2=x^4+x^2-2$.

Une autre lecture. En posant $X=x^2$, le dividende est $X^2+X-2=(X-1)(X+2)$, ce qui donne la factorisation directement. Le polynôme se factorise donc complètement en $(x-1)(x+1)(x^2+2)$ sur $\mathbb{R}$, le dernier facteur n'ayant pas de racine réelle.