Une division euclidienne

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 2 — Polynômes · Degré et division euclidienne

Énoncé

Effectuer la division euclidienne de $x^{4} + x^{2} - 2$ par $x^{2} - 1$ .

Corrigé

On pose la division suivant les puissances décroissantes :

$x^{4} + x^{2} - 2 = (x^{2} - 1) (x^{2} + 2) + 0.$

Le quotient est $x^{2} + 2$ et le reste est nul : $x^{2} - 1$ divise $x^{4} + x^{2} - 2$ .

Vérification en développant : $(x^{2} - 1) (x^{2} + 2) = x^{4} + 2 x^{2} - x^{2} - 2 = x^{4} + x^{2} - 2$ .

Une autre lecture. En posant $X = x^{2}$ , le dividende est $X^{2} + X - 2 = (X - 1) (X + 2)$ , ce qui donne la factorisation directement. Le polynôme se factorise donc complètement en $(x - 1) (x + 1) (x^{2} + 2)$ sur $R$ , le dernier facteur n'ayant pas de racine réelle.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.