Une équation fonctionnelle polynomiale

Le polynôme nul convient ; supposons désormais $P\ne 0$.

Les racines sont contraintes. Soit $a$ une racine de $P$. En prenant $x=a$ : $P(a^2)=P(a)P(a+1)=0$, donc $a^2$ est racine. En itérant, $a,a^2,a^4,a^8,\dots$ sont tous racines. Un polynôme non nul n'a qu'un nombre fini de racines : la suite $(a^{2^k})$ doit donc prendre un nombre fini de valeurs, ce qui impose $|a|\in \{0,1\}$.

En prenant $x=a-1$ : $P((a-1{)}^2)=P(a-1)P(a)=0$, donc $(a-1{)}^2$ est racine, et le même argument donne $|a-1|\in \{0,1\}$.

Intersection. Les réels de module $0$ ou $1$ sont $0,1,-1$ ; ceux dont $a-1$ est de module $0$ ou $1$ sont $1,0,2$. Les seules racines possibles sont donc $0$ et $1$.

Détermination de $P$. Ainsi $P=c{x}^m(x-1{)}^k$ avec $c\ne 0$. Reportons :

$$P(x^2)=c{x}^{2m}(x^2-1{)}^k=c{x}^{2m}(x-1{)}^k(x+1{)}^k,$$

$$P(x)P(x+1)=c{x}^m(x-1{)}^k\cdot c(x+1{)}^m{x}^k=c^2{x}^{m+k}(x-1{)}^k(x+1{)}^m.$$

L'identification des exposants de $x$ donne $2m=m+k$, donc $k=m$ ; celle de $(x+1)$ donne $k=m$, cohérent ; et celle des constantes $c=c^2$, donc $c=1$.

Conclusion : les solutions sont $P=0$ et

$$P(x)=x^n(x-1{)}^n=(x^2-x{)}^n,n\in \mathbb{N}.$$

($n=0$ donnant le polynôme constant $1$, qui vérifie bien $1=1\times 1$.)