Une racine évidente, puis les autres

Ce qu'on montre. Une factorisation complète, par la méthode « racine évidente, puis division ».

Recherche d'une racine. $$P(1)=1+2-5-6=-8\ne 0;P(-1)=-1+2+5-6=0.$$ Donc $-1$ est racine de $P$, et $x+1$ divise $P$.

La division par $x+1$.

• $x^3+2x^2-5x-6-x^2(x+1)=x^2-5x-6$ : le quotient commence par $x^2$ ;
• $x^2-5x-6-x(x+1)=-6x-6$ : le quotient reçoit $+x$ ;
• $-6x-6-(-6)(x+1)=0$ : le quotient reçoit $-6$, et le reste est nul.

D'où $P=(x+1)(x^2+x-6)$.

Contrôle du quotient. $(x+1)(x^2+x-6)=x^3+x^2-6x+x^2+x-6=x^3+2x^2-5x-6$. C'est bien $P$.

Le trinôme. Son discriminant vaut $\Delta =1+24=25>0$, donc deux racines réelles : $$\frac{-1-5}{2}=-3\text{et}\frac{-1+5}{2}=2.$$ Ainsi $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$.

Conclusion. $$P=(x+1)(x+3)(x-2).$$ Les trois racines $-3,-1,2$ sont simples, et la somme des multiplicités vaut $3=\mathrm{deg}P$ : la factorisation est complète.

Contrôle numérique. En $x=0$ : $P(0)=-6$, et $(1)(3)(-2)=-6$.