Commuter avec toutes les matrices

Ce qu'on montre. Que la commutation universelle force $A$ à être scalaire. L'idée est de ne pas tester toutes les $M$, mais seulement les plus simples.

Les matrices élémentaires. Pour $1\le i,j\le n$, notons $E_{ij}$ la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui d'indice $(i,j)$, égal à $1$. On calcule, pour tous $k,l$ : $$(A{E}_{ij}{)}_{kl}=\sum _m{A}_{km}(E_{ij}{)}_{ml}=A_{ki}{\delta }_{jl},(E_{ij}A{)}_{kl}=\sum _m(E_{ij}{)}_{km}{A}_{ml}={\delta }_{ki}{A}_{jl},$$ où $\delta$ vaut $1$ si les deux indices coïncident et $0$ sinon. Autrement dit : $A{E}_{ij}$ a pour colonne $j$ la colonne $i$ de $A$, les autres colonnes étant nulles ; et $E_{ij}A$ a pour ligne $i$ la ligne $j$ de $A$, les autres lignes étant nulles.

Première exploitation : $A$ est diagonale. Fixons $i\ne j$ et écrivons $A{E}_{ij}=E_{ij}A$ au coefficient $(k,l)=(k,j)$ avec $k\ne i$ : $$A_{ki}={\delta }_{ki}{A}_{jj}=0.$$ Ainsi $A_{ki}=0$ dès que $k\ne i$ : tous les coefficients hors de la diagonale sont nuls.

Seconde exploitation : les coefficients diagonaux sont égaux. Toujours pour $i\ne j$, prenons cette fois $(k,l)=(i,j)$ : $$A_{ii}=(A{E}_{ij}{)}_{ij}=(E_{ij}A{)}_{ij}=A_{jj}.$$ Les $n$ coefficients diagonaux sont donc tous égaux ; notons $\lambda$ leur valeur commune.

Conclusion. $A$ est diagonale à coefficients diagonaux tous égaux à $\lambda$, c'est-à-dire $$A=\lambda I_n.$$

Réciproque. Toute matrice $\lambda I_n$ commute avec n'importe quelle $M$, puisque $(\lambda I_n)M=\lambda M=M(\lambda I_n)$. Les matrices cherchées sont donc exactement les matrices scalaires.

Point délicat. La force du raisonnement tient au choix des $E_{ij}$ : elles sont assez nombreuses pour tout contraindre, et assez simples pour que les deux produits se lisent immédiatement. Tester $M=I_n$ ou $M=A$ n'aurait rien donné, ces matrices commutant toujours avec $A$.