Des tailles, et deux produits

Ce qu'on montre. Ce que les tailles autorisent, puis deux produits.

Les tailles. $A$ est de taille $(2,3)$ et $B$ de taille $(3,2)$.

La somme $A+B$ n'a pas de sens. Deux matrices ne s'additionnent que si elles ont le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes : $(2,3)$ et $(3,2)$ ne coïncident pas.

Le produit $AB$ a un sens et vaut une matrice $(2,2)$. La règle est $(n,p)\times (p,q)\to (n,q)$ : ici $(2,3)\times (3,2)\to (2,2)$. Le coefficient d'indice $(i,k)$ est le produit de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $k$ de $B$ : $$AB=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 0& 1\cdot 0+2\cdot 1+0\cdot 1\\ 0\cdot 1+1\cdot 2+3\cdot 0& 0\cdot 0+1\cdot 1+3\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 4\end{array}\right).$$

Le produit $BA$ a un sens et vaut une matrice $(3,3)$. Ici $(3,2)\times (2,3)\to (3,3)$ : $$BA=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 5& 3\\ 0& 1& 3\end{array}\right).$$ Détail de la deuxième ligne : elle vaut $2\times (1,2,0)+1\times (0,1,3)=(2,5,3)$.

Ce que l'exemple illustre. $AB$ et $BA$ existent tous les deux, et ils n'ont même pas la même taille : $(2,2)$ contre $(3,3)$. La question de leur égalité ne se pose donc même pas. C'est la forme la plus radicale de la non-commutativité du produit matriciel.