Deux systèmes, par le pivot

Ce qu'on montre. Les solutions, obtenues par éliminations successives — chaque opération élémentaire étant réversible, le système transformé a exactement les mêmes solutions.

Premier système. De la seconde équation, $x=3y-8$. En reportant dans la première : $$2(3y-8)+y=5⟺7y=21⟺y=3,\text{puis}x=9-8=1.$$ Vérification : $2\times 1+3=5$ et $1-9=-8$. L'unique solution est $(x,y)=(1,3)$.

Second système. On élimine $x$ à l'aide de la première ligne : $L_2\leftarrow L_2-L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-2L_1$ : $$\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ -2y+z=-1\\ -y-3z=-11.\end{array}$$ La troisième donne $y=11-3z$ ; en reportant dans la deuxième : $$-2(11-3z)+z=-1⟺-22+7z=-1⟺z=3.$$ Puis $y=11-9=2$, et enfin $x=6-y-z=6-2-3=1$.

Vérification sur les trois équations de départ : $$1+2+3=6;1-2+6=5;2+2-3=1.$$ L'unique solution est $(x,y,z)=(1,2,3)$.

Ce que l'on observe. Dans les deux cas le pivot a fait disparaître une inconnue par ligne, sans jamais produire de ligne « $0=0$ » ni de ligne impossible : c'est le cas de la solution unique. Les deux autres issues possibles — aucune solution, ou une infinité — se seraient manifestées par une dernière ligne dégénérée.