Diagonale et triangulaire

Ce qu'on montre. L'application d'un critère qui se lit d'un coup d'œil.

Le critère. Une matrice diagonale ou triangulaire est inversible si et seulement si aucun de ses coefficients diagonaux n'est nul.

La matrice $D$. Ses coefficients diagonaux sont $2$, $-1$, $5$ : tous non nuls, donc $D$ est inversible. L'inverse d'une matrice diagonale s'obtient en inversant chaque coefficient diagonal : $$D^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& \frac{1}{5}\end{array}\right).$$ Vérification : le produit $D{D}^{-1}$ est diagonal, de coefficients $2\times \frac{1}{2}=1$, $(-1)\times (-1)=1$, $5\times \frac{1}{5}=1$, c'est-à-dire $I_3$.

La matrice $T$. Elle est triangulaire supérieure, et son deuxième coefficient diagonal vaut $0$. Elle n'est donc pas inversible.

Pourquoi. Le système homogène $TX=0$ s'écrit $x+2y+3z=0$, $4z=0$, $5z=0$. Il donne $z=0$ et $x=-2y$, avec $y$ libre : le vecteur $(-2,1,0)$ est une solution non nulle, ce qui interdit l'inversibilité.

La matrice $T^{\prime }$. Ses coefficients diagonaux sont $1$, $-1$, $2$ : tous non nuls, donc $T^{\prime }$ est inversible.

Point délicat. Le critère porte sur la diagonale seule : les coefficients $2$, $3$, $4$ hors diagonale n'y jouent aucun rôle. Et il ne vaut que pour les matrices triangulaires ou diagonales : une matrice quelconque à diagonale sans zéro peut parfaitement ne pas être inversible, comme $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$.