Discuter un système à paramètre

Le pivot. Retranchons $L_1$ aux deux autres lignes :

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ (m-1)y=m-1\\ (m-1)z=m^2-1=(m-1)(m+1)\end{array}$$

Les deux derniers pivots valent tous deux $m-1$ : tout se joue en $m=1$.

Cas $m\ne 1$. On divise par $m-1$ : $y=1$ et $z=m+1$, puis $x=1-y-z=-m-1$. Le système a une unique solution

$$(x,y,z)=(-m-1,1,m+1).$$

(Contrôle sur $L_3$ : $-m-1+1+m(m+1)=m^2$.)

Cas $m=1$. Les deuxième et troisième équations deviennent $0=0$, et le système se réduit à $x+y+z=1$ : il y a une infinité de solutions, le plan $\{(1-s-t,s,t),(s,t)\in {\mathbb{R}}^2\}$.

Aucun cas impossible. On aurait pu s'y attendre : pour $m=1$ les seconds membres $1$, $m$ et $m^2$ valent tous $1$, si bien que les trois équations coïncident au lieu de se contredire. Un pivot qui s'annule n'annonce pas forcément « pas de solution », seulement « pas une seule ».