Intersection oui, réunion presque jamais

L'intersection. Deux points à vérifier, et seulement deux. D'abord $0_E\in F$ et $0_E\in G$, donc $0_E\in F\cap G$. Ensuite, soient $u,v\in F\cap G$ et $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ : la stabilité de $F$ donne $\lambda u+\mu v\in F$, celle de $G$ donne $\lambda u+\mu v\in G$. Donc $\lambda u+\mu v\in F\cap G$, qui est un sous-espace vectoriel.

La réunion, sens facile. Si $F\subset G$, alors $F\cup G=G$, qui est un sous-espace vectoriel. De même si $G\subset F$.

La réunion, sens délicat. Supposons $F\cup G$ sous-espace vectoriel et raisonnons par l'absurde en supposant qu'aucune des deux inclusions n'a lieu. Il existe alors $u\in F$ avec $u\notin G$, et $v\in G$ avec $v\notin F$. Ces deux vecteurs appartiennent à $F\cup G$, donc leur somme aussi, par stabilité. Deux cas, et pas un de plus :

• si $u+v\in F$, alors $v=(u+v)-u$ est combinaison linéaire de deux éléments de $F$, donc $v\in F$ : contradiction ;
• si $u+v\in G$, alors $u=(u+v)-v$ est combinaison linéaire de deux éléments de $G$, donc $u\in G$ : contradiction.

Dans les deux cas la contradiction est atteinte. Donc l'une au moins des deux inclusions a lieu.

Le point à retenir. Tout tient à la stabilité par combinaison linéaire : l'intersection la conserve, la réunion la perd dès que les deux sous-espaces se croisent sans s'emboîter, car la somme d'un vecteur de l'un et d'un vecteur de l'autre n'est en général dans ni l'un ni l'autre. Le vecteur $u+v$ est la clé de toute la démonstration.