Inverser en résolvant le système

Le système. Avec $X={}^t(x,y,z)$ et $Y={}^t(a,b,c)$, le système $AX=Y$ s'écrit $$2x+y=a,x+2y+z=b,y+2z=c.$$

Le pivot. La première ligne donne $y=a-2x$. En la reportant dans les deux autres : $$x+2(a-2x)+z=b⟹-3x+z=b-2a,$$ $$(a-2x)+2z=c⟹-2x+2z=c-a.$$ En retranchant la moitié de la seconde relation à la première : $-3x+z-(-x+z)=b-2a-\frac{c-a}{2}$, soit $-2x=\frac{2b-3a-c}{2}$, donc $$x=\frac{3a-2b+c}{4}.$$ On remonte : $z=x+\frac{c-a}{2}=\frac{a-2b+3c}{4}$, puis $y=a-2x=\frac{-2a+4b-2c}{4}$.

Lecture de l'inverse. Le système a une solution, et une seule, pour tout $Y$ : l'écriture $X=BY$ obtenue donne $B=A^{-1}$, puisque pour une matrice carrée un inverse d'un seul côté est l'inverse. Donc $$A^{-1}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ -2& 4& -2\\ 1& -2& 3\end{array}\right).$$

Contrôle. Première ligne de $A$ contre les trois colonnes de $A^{-1}$ : $\frac{6-2+0}{4}=1$, $\frac{-4+4+0}{4}=0$, $\frac{2-2+0}{4}=0$. On retrouve la première ligne de $I_3$.

Le point à retenir. Inverser une matrice, c'est résoudre $AX=Y$ en exprimant $X$ en fonction de $Y$ : les coefficients de $A^{-1}$ se lisent sur le résultat. Le procédé diagnostique en même temps — si le pivot fait apparaître une ligne « $0=$ combinaison des $y_i$ », c'est que $A$ n'est pas inversible.