Inverser, ou constater qu'on ne peut pas

Ce qu'on montre. L'inversibilité de deux matrices d'ordre $2$, et un inverse explicite.

Le critère à l'ordre 2. Une matrice $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ est inversible si et seulement si $ad-bc\ne 0$, et son inverse vaut alors $$\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right).$$

La matrice $A$. Ici $ad-bc=3\times 2-5\times 1=6-5=1\ne 0$ : $A$ est inversible, et $$A^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right).$$

Vérification. $$A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6-5& -15+15\\ 2-2& -5+6\end{array}\right)=I_2.$$

La matrice $B$. Ici $ad-bc=2\times 2-4\times 1=0$ : $B$ n'est pas inversible.

Pourquoi, concrètement. La deuxième colonne de $B$ est le double de la première. Le vecteur $X=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{-1}\right)$ vérifie $$BX=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2\times 2+4\times (-1)}{1\times 2+2\times (-1)}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0}\right).$$ Si $B$ était inversible, on pourrait multiplier à gauche par $B^{-1}$ et obtenir $X=0$, ce qui est faux. Le système homogène $BX=0$ a donc des solutions non nulles, ce qui interdit l'inversibilité.

Ce qu'il faut retenir. À l'ordre $2$, un seul nombre décide. Au-delà, on ne dispose plus de cette formule : on inverse en résolvant le système $AX=Y$, ou par le pivot.