Inversibilité selon un paramètre

On échelonne par le pivot. En retranchant $\frac{4}{m}$ fois la première ligne à la seconde (pour $m\ne 0$), le second pivot devient $m-\frac{4}{m}=\frac{m^2-4}{m}=\frac{(m-2)(m+2)}{m}$. Pour $m=0$, la matrice $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 4& 0\end{array}\right)$ est inversible (pivots $4$ et $1$ après échange des lignes).

La matrice est donc inversible si et seulement si $m\ne 2$ et $m\ne -2$, et dans ce cas

$${\left(\begin{array}{cc}m& 1\\ 4& m\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{m^2-4}\left(\begin{array}{cc}m& -1\\ -4& m\end{array}\right).$$

Ce qui se passe aux valeurs interdites. Pour $m=2$, les lignes $(2,1)$ et $(4,2)$ sont proportionnelles ; pour $m=-2$, ce sont $(-2,1)$ et $(4,-2)$. Dans les deux cas le rang tombe à $1$ : l'application associée écrase le plan sur une droite, et ne peut pas être bijective.