L'inverse d'une somme n'est pas la somme des inverses

Ce qu'on montre. D'abord qu'une formule séduisante est fausse ; ensuite la formule correcte, et sa démonstration.

Le contre-exemple. Prenons $A=B=I_2$. Ces deux matrices sont inversibles, et $A+B=2I_2$ l'est aussi, d'inverse $\frac{1}{2}{I}_2$. Or $$A^{-1}+B^{-1}=I_2+I_2=2I_2\ne \frac{1}{2}{I}_2=(A+B{)}^{-1}.$$ La formule $(A+B{)}^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$ est donc fausse — et elle l'est déjà sur les nombres : $\frac{1}{1+1}\ne \frac{1}{1}+\frac{1}{1}$.

La factorisation-clé. Supposons $A$, $B$ et $A+B$ inversibles. Alors $$A^{-1}(A+B)B^{-1}=A^{-1}A{B}^{-1}+A^{-1}B{B}^{-1}=B^{-1}+A^{-1}=A^{-1}+B^{-1}.$$ Le membre de gauche est un produit de trois matrices inversibles, donc il est inversible : $A^{-1}+B^{-1}$ l'est aussi.

L'inverse. L'inverse d'un produit est le produit des inverses en ordre renversé : $$(A^{-1}+B^{-1}{)}^{-1}=(A^{-1}(A+B)B^{-1}{)}^{-1}=(B^{-1}{)}^{-1}(A+B{)}^{-1}(A^{-1}{)}^{-1}=B(A+B{)}^{-1}A.$$

Point délicat. L'ordre est tout : écrire $A(A+B{)}^{-1}B$ au lieu de $B(A+B{)}^{-1}A$ serait une faute de raisonnement, le produit matriciel n'étant pas commutatif. Curieusement, les deux expressions sont ici égales : en partant de l'autre factorisation $$B^{-1}(A+B)A^{-1}=A^{-1}+B^{-1},$$ le même argument donne $(A^{-1}+B^{-1}{)}^{-1}=A(A+B{)}^{-1}B$. Les deux écritures désignent donc la même matrice, ce qui n'a rien d'évident sans ce détour.