La matrice remplie de un

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 3 — Algèbre linéaire · Calcul matriciel

Énoncé

Soit $J \in M_{3} (R)$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$ . Calculer $J^{2}$ , puis $J^{n}$ pour tout $n \geq 1$ . En déduire que $I_{3} + J$ est inversible et calculer son inverse.

Corrigé

Ce qu'on montre. Les puissances de $J$ , puis un inverse obtenu sans aucun pivot.

Le carré. Le coefficient d'indice $(i, k)$ de $J^{2}$ vaut $\sum_{j = 1}^{3} J_{ij} J_{j k} = \sum_{j = 1}^{3} 1 \times 1 = 3$ . Tous les coefficients de $J^{2}$ valent donc $3$ : $J^{2} = 3 J .$

Les puissances. Montrons par récurrence que $J^{n} = 3^{n - 1} J$ pour $n \geq 1$ .

Initialisation : $J^{1} = 3^{0} J = J$ .
Hérédité : si $J^{n} = 3^{n - 1} J$ , alors $J^{n + 1} = J^{n} J = 3^{n - 1} J^{2} = 3^{n - 1} \times 3 J = 3^{n} J$ .

Donc $J^{n} = 3^{n - 1} J$ pour tout $n \geq 1$ .

L'inverse de $I_{3} + J$ . Cherchons-le sous la forme $α I_{3} + β J$ , ce qui est légitime puisque $I_{3}$ et $J$ commutent. En développant et en utilisant $J^{2} = 3 J$ : $(I_{3} + J) (α I_{3} + β J) = α I_{3} + β J + α J + β J^{2} = α I_{3} + (α + β + 3 β) J = α I_{3} + (α + 4 β) J .$ Pour que ce produit vaille $I_{3}$ , il suffit que $α = 1$ et $α + 4 β = 0$ , soit $β = - \frac{1}{4}$ .

Vérification et conclusion. Avec $B = I_{3} - \frac{1}{4} J$ , le calcul ci-dessus donne $(I_{3} + J) B = I_{3}$ ; et comme $I_{3} + J$ et $B$ commutent (toutes deux combinaisons de $I_{3}$ et $J$ ), on a aussi $B (I_{3} + J) = I_{3}$ . Donc $I_{3} + J$ est inversible et $(I_{3} + J)^{- 1} = I_{3} - \frac{1}{4} J .$

Point délicat. L'égalité $(I_{3} + J) B = I_{3}$ seule ne suffit pas, en toute rigueur, à conclure à l'inversibilité tant qu'on n'a pas le produit dans l'autre ordre. Ici la commutation le fournit gratuitement.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.