mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 3 · Exercice d'entraînement

La somme de deux sous-espaces

Algèbre linéaire · Espaces et sous-espaces vectoriels · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un $R$ -espace vectoriel $E$ . On pose $F + G = {u + v ∣ u \in F, v \in G} .$ Démontrer que $F + G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ contenant $F$ et $G$ , puis que tout sous-espace vectoriel de $E$ contenant $F \cup G$ contient $F + G$ .

Pour démarrer : comment l'IA t'aide

Élève

Pour la stabilité, j'écris $w = u + v$ et $w^{'} = u + v$ avec $u \in F$ et $v \in G$ ; alors $λ w + μ w^{'} = (λ + μ) (u + v)$ est dans $F + G$ . Ça me paraît trop rapide.

Ton doute est fondé : en prenant les mêmes $u$ et $v$ pour les deux vecteurs, tu as en fait supposé $w = w^{'}$ . Deux éléments quelconques de $F + G$ ont chacun leur propre décomposition : comment les écrire, et comment regrouper ensuite les termes de $λ w + μ w^{'}$ ?

Élève

J'écris $w = u + v$ et $w^{'} = u^{'} + v^{'}$ , avec $u, u^{'}$ dans $F$ et $v, v^{'}$ dans $G$ . En développant, je peux mettre ensemble ce qui vient de $F$ d'un côté et ce qui vient de $G$ de l'autre.

C'est le bon regroupement, et il reste à dire pourquoi chaque morceau est où il doit être. Pour la dernière partie, on te donne un sous-espace $W$ quelconque contenant $F \cup G$ : en partant d'un élément de $F + G$ , quelle propriété de $W$ vas-tu devoir utiliser ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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