La somme de deux sous-espaces

Ce qu'on montre. Que $F+G$ est un sous-espace vectoriel, et que c'est le plus petit contenant $F$ et $G$.

$F+G$ est un sous-espace vectoriel.

• Il est inclus dans $E$ : une somme de deux vecteurs de $E$ est dans $E$.
• Il contient le vecteur nul : $0=0+0$ avec $0\in F$ et $0\in G$, puisque $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels.
• Stabilité par combinaison linéaire : soient $w,w^{\prime }\in F+G$ et $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$. Écrivons $w=u+v$ et $w^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$ avec $u,u^{\prime }\in F$ et $v,v^{\prime }\in G$. Alors, en regroupant, $$\lambda w+\mu w^{\prime }=\underset{\in F}{\underbrace{(\lambda u+\mu u^{\prime })}}+\underset{\in G}{\underbrace{(\lambda v+\mu v^{\prime })}},$$ les deux appartenances venant de ce que $F$ et $G$ sont eux-mêmes stables par combinaison linéaire. Donc $\lambda w+\mu w^{\prime }\in F+G$.

$F+G$ contient $F$ et $G$. Pour $u\in F$, on écrit $u=u+0$ avec $0\in G$ : donc $u\in F+G$. Symétriquement pour $G$. Ainsi $F\cup G\subset F+G$.

C'est le plus petit. Soit $W$ un sous-espace vectoriel de $E$ tel que $F\cup G\subset W$. Soit $w\in F+G$, écrit $w=u+v$ avec $u\in F$ et $v\in G$. Alors $u\in W$ et $v\in W$, et $W$ étant stable par addition, $w=u+v\in W$. Donc $F+G\subset W$.

Conclusion. $F+G$ est un sous-espace vectoriel contenant $F\cup G$, et il est contenu dans tout sous-espace vectoriel contenant $F\cup G$ : c'est le plus petit d'entre eux.

Point délicat. L'écriture $w=u+v$ n'a aucune raison d'être unique : si $F$ et $G$ ont une intersection autre que $\{0\}$, le même $w$ admet plusieurs décompositions. Cela n'affecte en rien la démonstration, qui n'utilise que l'existence d'une décomposition — mais confondre les deux notions est une erreur fréquente.