Le produit n'est pas commutatif

$$AB=\left(\begin{array}{cc}7& 2\\ 3& 1\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 7\end{array}\right).$$

Les deux produits sont définis, de même taille, et différents : le produit matriciel n'est pas commutatif.

Conséquences à retenir. Les identités remarquables tombent : $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$, qui ne vaut $A^2+2AB+B^2$ que si $A$ et $B$ commutent. De même, la formule du binôme n'est licite que sous cette condition.

On remarquera que $AB$ et $BA$, tout différentes qu'elles soient, ont ici la même diagonale à l'ordre près. Deux matrices différentes peuvent partager beaucoup : $AB$ et $BA$ ont toujours même trace et même déterminant, même quand $AB\ne BA$.