mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 3 · Exercice d'entraînement

Les matrices égales à leur carré

Algèbre linéaire · Inversibilité et puissances · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2=A$. Démontrer que $A(I_n-A)=0$, puis que $A$ est inversible si et seulement si $A=I_n$. Donner enfin, dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, un exemple de telle matrice différente de $0$ et de $I_2$.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.