Les matrices égales à leur carré

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 3 — Algèbre linéaire · Inversibilité et puissances

Énoncé

Soit $A \in M_{n} (R)$ telle que $A^{2} = A$ . Démontrer que $A (I_{n} - A) = 0$ , puis que $A$ est inversible si et seulement si $A = I_{n}$ . Donner enfin, dans $M_{2} (R)$ , un exemple de telle matrice différente de $0$ et de $I_{2}$ .

Corrigé

Ce qu'on montre. Trois faits : une identité, une équivalence, et un exemple qui interdit toute conclusion hâtive.

L'identité. En développant, et en utilisant $A^{2} = A$ : $A (I_{n} - A) = A I_{n} - A^{2} = A - A = 0.$ De même $(I_{n} - A) A = 0$ . On notera que $(I_{n} - A)^{2} = I_{n} - 2 A + A^{2} = I_{n} - A$ : la matrice $I_{n} - A$ vérifie la même relation que $A$ .

Sens direct de l'équivalence. Supposons $A$ inversible. Multiplions l'égalité $A^{2} = A$ à gauche par $A^{- 1}$ : $A^{- 1} A^{2} = A^{- 1} A, c’est- a ˋ -dire A = I_{n} .$ La simplification est licite parce que $A^{- 1}$ existe : c'est exactement là que l'hypothèse sert. Sans elle, on ne peut pas « simplifier par $A$ » dans $A^{2} = A$ .

Sens réciproque. Si $A = I_{n}$ , alors $A^{2} = I_{n} = A$ et $A$ est inversible, d'inverse elle-même.

Un exemple non trivial. Prenons $A = (1010), A^{2} = (1010) (1010) = (1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 0 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 0) = (1010) = A .$ Cette matrice est différente de $0$ et de $I_{2}$ ; d'après ce qui précède, elle n'est donc pas inversible. On le confirme directement : sa deuxième ligne est nulle, donc le système $A X = (1 0)$ n'a aucune solution.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.