Les puissances d'une triangulaire, par le binôme

La décomposition. On pose $N=A-I_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$.

Les puissances de $N$. Le produit ligne par colonne donne $$N^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),N^3=N^{2}N=0.$$ On voit la diagonale de coefficients non nuls remonter d'un cran à chaque puissance, jusqu'à sortir du tableau.

Le binôme, et sa condition. Le binôme de Newton n'est pas valable pour deux matrices quelconques : sa démonstration réordonne les facteurs, elle exige donc qu'elles commutent. Ici $I_3$ commute avec tout, et $$A^n=(I_3+N{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})N^k.$$ Comme $N^k=0$ dès que $k\ge 3$, il ne reste que trois termes : $$A^n=I_3+nN+\frac{n(n-1)}{2}{N}^2=\left(\begin{array}{ccc}1& n& n+\frac{n(n-1)}{2}\\ 0& 1& n\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$ (La formule vaut aussi pour $n=0$ et $n=1$, les coefficients binomiaux absents étant nuls.)

Contrôle. Pour $n=2$ la formule annonce un $3$ en position $(1,3)$, et le produit $A\times A$ y donne bien $1\times 1+1\times 1+1\times 1=3$.

Le point à retenir. Une matrice dont une puissance est nulle change une somme de $n+1$ termes en somme de trois. Le schéma « $A=I+N$ avec $N^p=0$ » est la méthode standard pour les puissances d'une triangulaire à diagonale constante — mais avant d'écrire le binôme on vérifie la commutation, sans quoi la formule est fausse.