Les suites de Fibonacci généralisées

C'est un sous-espace. Notons $F$ cet ensemble. La suite nulle y appartient. Et si $u,v\in F$ et $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$, la suite $w=\lambda u+\mu v$ vérifie, pour tout $n$,

$$w_{n+2}=\lambda u_{n+2}+\mu v_{n+2}=\lambda (u_{n+1}+u_n)+\mu (v_{n+1}+v_n)=w_{n+1}+w_n.$$

Donc $w\in F$ : $F$ est stable par combinaison linéaire.

Une famille génératrice à deux éléments. Une suite de $F$ est entièrement déterminée par le couple $(u_0,u_1)$ : tout le reste s'en déduit. Prenons donc

$$a:(a_0,a_1)=(1,0),b:(b_0,b_1)=(0,1).$$

Pour $u\in F$ quelconque, la suite $u-u_{0}a-u_{1}b$ appartient à $F$ et a ses deux premiers termes nuls : elle est donc nulle. Ainsi $u=u_{0}a+u_{1}b$, et $(a,b)$ engendre $F$.

C'est même une base, car $a$ et $b$ ne sont pas proportionnelles : $\dim F=2$.

Une autre base, plus commode pour calculer : les deux suites géométriques $({\phi }^n)$ et $({\psi }^n)$, où $\phi$ et $\psi$ sont les racines de $r^2=r+1$, soit $\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$. C'est elle qui donne la formule de Binet pour Fibonacci.