Nilpotente et somme géométrique

Le cas $N^3=0$. Développons, en n'utilisant que la distributivité :

$$(I_n-N)(I_n+N+N^2)=I_n+N+N^2-N-N^2-N^3=I_n-N^3=I_n,$$

et le produit dans l'autre ordre donne la même chose ($N$ commute avec ses propres puissances). Donc $I_n-N$ est inversible et

$$(I_n-N{)}^{-1}=I_n+N+N^2.$$

Le cas général $N^k=0$. Le même télescopage donne

$$(I_n-N)\left(\sum _{i=0}^{k-1}{N}^i\right)=I_n-N^k=I_n,\text{donc}(I_n-N{)}^{-1}=\sum _{i=0}^{k-1}{N}^i.$$

Ce que c'est. La somme géométrique $\frac{1}{1-x}=\sum x^i$, rendue finie par la nilpotence — donc licite sans aucune question de convergence. C'est l'une des rares situations où l'on peut « sommer une série géométrique » de matrices sans parler de limite.

Une conséquence. Une matrice nilpotente n'est jamais inversible (si $N^k=0$ et $N$ inversible, on multiplierait par $N^{-k}$ pour obtenir $I_n=0$), mais $I_n-N$ l'est toujours. Ajouter l'identité à une nilpotente donne donc systématiquement une matrice inversible.