Réduire les puissances grâce à une relation

Ce qu'on montre. Une formule close pour toutes les puissances de $A$, à partir de la seule relation donnée. Notons $\mathcal{P}(n)$ la propriété à démontrer.

Initialisation. Pour $n=0$ : $A^0=I_3$, et la formule donne $(1-1)A+(2-1)I_3=I_3$. Pour $n=1$ : la formule donne $(2-1)A+(2-2)I_3=A$. $\mathcal{P}(0)$ et $\mathcal{P}(1)$ sont vraies.

Hérédité. Soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $\mathcal{P}(n)$ soit vraie. En multipliant par $A$ : $$A^{n+1}=A\cdot A^n=(2^n-1)A^2+(2-2^n)A.$$ On remplace maintenant $A^2$ par $3A-2I_3$ — c'est le seul endroit où l'hypothèse de l'énoncé intervient : $$A^{n+1}=(2^n-1)(3A-2I_3)+(2-2^n)A=\left[3\right(2^n-1)+2-2^n]A-2(2^n-1)I_3.$$ Le crochet vaut $3\cdot 2^n-3+2-2^n=2\cdot 2^n-1=2^{n+1}-1$, et le second coefficient vaut $-2\cdot 2^n+2=2-2^{n+1}$. Donc $$A^{n+1}=(2^{n+1}-1)A+(2-2^{n+1})I_3,$$ c'est-à-dire $\mathcal{P}(n+1)$.

Conclusion. Par récurrence, la formule vaut pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Contrôle. Pour $n=2$, la formule donne $3A-2I_3$, ce qui est exactement l'hypothèse. Pour $n=3$ : $7A-6I_3$ ; et directement $A^3=A\cdot A^2=3A^2-2A=3(3A-2I_3)-2A=7A-6I_3$. Les deux voies concordent.