mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 3 · Exercice d'entraînement

Réduire les puissances grâce à une relation

Algèbre linéaire · Inversibilité et puissances · ★★ niveau 2

Énoncé

Soit $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2=3A-2I_3$. Démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $$A^n=(2^n-1)A+(2-2^n)I_3.$$

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.