Solution particulière plus solutions homogènes

Ce qu'on montre. Toutes les solutions de $(S)$, puis leur structure : une solution particulière à laquelle s'ajoute un sous-espace vectoriel.

Résolution par le pivot. $L_2\leftarrow L_2-L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-2L_1$ : $$\{\begin{array}{l}x+y+z+t=1\\ y+2z+3t=1\\ y+2z+3t=1\end{array}$$ Les deux dernières lignes sont identiques : la troisième équation de départ était la somme des deux premières. Il reste deux équations indépendantes pour quatre inconnues, donc deux paramètres. Posons $z=\alpha$ et $t=\beta$ : $$y=1-2\alpha -3\beta ,x=1-y-z-t=1-(1-2\alpha -3\beta )-\alpha -\beta =\alpha +2\beta .$$ $$\mathcal{S}=\{(\alpha +2\beta ,1-2\alpha -3\beta ,\alpha ,\beta )\mid (\alpha ,\beta )\in {\mathbb{R}}^2\}.$$

Le système homogène. C'est $(S)$ avec un second membre nul. Le même pivot donne $y=-2\alpha -3\beta$ et $x=\alpha +2\beta$, d'où $$F=\{\alpha (1,-2,1,0)+\beta (2,-3,0,1)\mid (\alpha ,\beta )\in {\mathbb{R}}^2\}.$$

$F$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^4$. On le vérifie directement, sans repasser par le calcul.

• $F\subset {\mathbb{R}}^4$ et $(0,0,0,0)\in F$ (prendre $\alpha =\beta =0$ ; c'est aussi la solution évidente d'un système homogène).
• Soient $u,v\in F$ et $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$. Chaque équation du système homogène s'écrit $\ell (w)=0$ où $\ell$ est une somme de la forme $c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}t$, qui vérifie $\ell (\lambda u+\mu v)=\lambda \ell (u)+\mu \ell (v)=0$. Donc $\lambda u+\mu v\in F$.

$F$ est donc stable par combinaison linéaire et contient le vecteur nul : c'est un sous-espace vectoriel, engendré par la famille $((1,-2,1,0),(2,-3,0,1))$.

La structure des solutions. Le choix $\alpha =\beta =0$ dans $\mathcal{S}$ fournit la solution particulière $X_0=(0,1,0,0)$, et l'écriture obtenue se relit $$\mathcal{S}=X_0+F=\{X_0+u\mid u\in F\}.$$ On peut le démontrer sans calcul : si $X$ et $X_0$ sont deux solutions de $(S)$, la différence $X-X_0$ annule chaque équation, donc appartient à $F$ ; réciproquement $X_0+u$ est solution pour tout $u\in F$, par linéarité.

Point délicat. $\mathcal{S}$ n'est pas un sous-espace vectoriel : il ne contient pas le vecteur nul, puisque $(0,0,0,0)$ ne vérifie pas $x+y+z+t=1$. C'est un sous-espace translaté, et c'est exactement ce que dit l'écriture $X_0+F$.