Symétrique plus antisymétrique

Posons

$$S=\frac{A+{}^{t}A}{2},K=\frac{A-{}^{t}A}{2}.$$

Elles conviennent. D'abord $S+K=A$, immédiatement. Ensuite

$${}^{t}S=\frac{{}^{t}A+A}{2}=S(\text{symeˊtrique}),{}^{t}K=\frac{{}^{t}A-A}{2}=-K(\text{antisymeˊtrique}).$$

La décomposition est unique. Si $A=S^{\prime }+K^{\prime }$ avec $S^{\prime }$ symétrique et $K^{\prime }$ antisymétrique, alors ${}^{t}A=S^{\prime }-K^{\prime }$. En additionnant et en retranchant, on retrouve $S^{\prime }=\frac{A+{}^{t}A}{2}$ et $K^{\prime }=\frac{A-{}^{t}A}{2}$.

Lecture en dimensions. ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est somme directe du sous-espace des symétriques, de dimension $\frac{n(n+1)}{2}$, et de celui des antisymétriques, de dimension $\frac{n(n-1)}{2}$ — et la somme des deux fait bien $n^2$. La division par $2$ est ce qui rend tout cela possible : sur un corps de caractéristique $2$, la décomposition n'existerait pas.