Toutes les matrices qui commutent avec une matrice donnée

Ce qu'on montre. L'ensemble des matrices qui commutent avec $A$, par identification coefficient par coefficient.

Mise en équations. Posons $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$. Alors $$AM=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+c& b+d\\ c& d\end{array}\right),MA=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& a+b\\ c& c+d\end{array}\right).$$

Résolution. Deux matrices sont égales si et seulement si leurs quatre coefficients coïncident : $$a+c=a,b+d=a+b,c=c,d=c+d.$$ La première donne $c=0$ ; la deuxième donne $d=a$ ; la quatrième redonne $c=0$ ; la troisième n'apporte rien. Le coefficient $b$ reste libre.

Conclusion. Les matrices cherchées sont exactement les $$M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)=a{I}_2+bN,(a,b)\in {\mathbb{R}}^2,\text{ouˋ }N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right).$$

Description de l'ensemble. C'est l'ensemble des combinaisons linéaires de $I_2$ et $N$ : un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, engendré par ces deux matrices. Il contient bien $A=I_2+N$, ce qui était prévisible puisque toute matrice commute avec elle-même et avec $I_2$.

Point délicat. L'ensemble n'est pas réduit aux multiples de $I_2$ : $N$ commute avec $A$ sans être scalaire. C'est le cas général pour une matrice fixée — seule une matrice qui commute avec toutes les autres est forcée d'être scalaire.