Transposer un produit

Ce qu'on montre. Sur un exemple, la règle ${}^t(AB)={}^{t}B{}^{t}A$ — et que l'ordre y est essentiel.

Le produit. $$AB=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 0+2\cdot 1& 1\cdot 1+2\cdot 0\\ 3\cdot 0+4\cdot 1& 3\cdot 1+4\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right).$$

Sa transposée. On échange lignes et colonnes : $${}^t(AB)=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 3\end{array}\right).$$

Le produit des transposées, en ordre renversé. ${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)$ et ${}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=B$. Donc $${}^{t}B{}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 3\end{array}\right).$$ C'est exactement ${}^t(AB)$ : la règle est vérifiée.

Le produit dans l'autre ordre. $${}^{t}A{}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 4& 2\end{array}\right)\ne {}^t(AB).$$

Conclusion. Transposer un produit renverse l'ordre des facteurs : ${}^t(AB)={}^{t}B{}^{t}A$, et l'écriture ${}^{t}A{}^{t}B$ donne ici un résultat différent. La même inversion d'ordre se produit pour l'inverse d'un produit : $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$.