Trois parties de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$

Ce qu'on montre. Le statut de trois parties. Pour chacune, on teste : le vecteur nul appartient-il à la partie, et la stabilité par combinaison linéaire est-elle vérifiée ? Un seul défaut suffit à conclure par la négative.

$F$ est un sous-espace vectoriel. Notons $s(M)=m_{11}+m_{12}+m_{21}+m_{22}$.

• La matrice nulle vérifie $s(0)=0$, donc $0\in F$.
• Soient $M,N\in F$ et $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$. Le coefficient d'indice $(i,j)$ de $\lambda M+\mu N$ vaut $\lambda m_{ij}+\mu n_{ij}$, donc $$s(\lambda M+\mu N)=\lambda s(M)+\mu s(N)=0.$$ Donc $\lambda M+\mu N\in F$.

$F$ est stable par combinaison linéaire et contient $0$ : c'est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

$G$ n'est pas un sous-espace vectoriel. La matrice $I_2$ vérifie $I_2^2=I_2$, donc $I_2\in G$. Mais $$(2I_2{)}^2=4I_2\ne 2I_2,$$ donc $2I_2\notin G$ : la partie n'est pas stable par multiplication par un scalaire. Elle contient pourtant la matrice nulle, ce qui montre bien que ce test seul ne suffit jamais à conclure par l'affirmative.

La cause profonde est que la condition $M^2=M$ n'est pas linéaire en $M$ : elle fait intervenir un produit de $M$ par elle-même.

$H$ est un sous-espace vectoriel.

• ${}^{t}0=0$, donc $0\in H$.
• Soient $M,N\in H$ et $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$. La transposition est linéaire, c'est-à-dire ${}^t(\lambda M+\mu N)=\lambda {}^{t}M+\mu {}^{t}N$ (elle échange les indices coefficient par coefficient). D'où $${}^t(\lambda M+\mu N)=\lambda M+\mu N,$$ et $\lambda M+\mu N\in H$.