Trois parties de $R_{3} [x]$

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 3 — Algèbre linéaire · Espaces et sous-espaces vectoriels

Énoncé

Les parties suivantes de $R_{3} [x]$ sont-elles des sous-espaces vectoriels ? ${P ∣ P^{'} (0) = 0}$ , ${P ∣ P (0) P (1) = 0}$ , ${P ∣ de g P = 2}$ .

Corrigé

$F_{1} = {P ∣ P^{'} (0) = 0}$ : oui. Le polynôme nul y est, et l'application $P \mapsto P^{'} (0)$ est linéaire : $(λ P + μ Q)^{'} (0) = λ P^{'} (0) + μ Q^{'} (0) = 0$ . C'est le noyau d'une forme linéaire, donc un sous-espace — de dimension $3$ ici (les polynômes $a + c x^{2} + d x^{3}$ ).

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