Trois parties de ${\mathbb{R}}_3[x]$

$F_1=\{P\mid P^{\prime }(0)=0\}$ : oui. Le polynôme nul y est, et l'application $P\mapsto P^{\prime }(0)$ est linéaire : $(\lambda P+\mu Q{)}^{\prime }(0)=\lambda P^{\prime }(0)+\mu Q^{\prime }(0)=0$. C'est le noyau d'une forme linéaire, donc un sous-espace — de dimension $3$ ici (les polynômes $a+c{x}^2+d{x}^3$).

$F_2=\{P\mid P(0)P(1)=0\}$ : non. La condition est un produit, pas une relation linéaire. Contre-exemple : $P=x$ vérifie $P(0)=0$ et $Q=x-1$ vérifie $Q(1)=0$, donc les deux sont dans $F_2$ ; mais $P+Q=2x-1$ donne $(P+Q)(0)(P+Q)(1)=(-1)(1)=-1\ne 0$. La stabilité par addition est en défaut.

$F_3=\{P\mid \mathrm{deg}P=2\}$ : non. Le polynôme nul n'y est pas (son degré n'est pas $2$) — ce seul test suffit. Et la stabilité échoue aussi : $x^2+x$ et $-x^2$ sont de degré $2$, leur somme $x$ ne l'est pas.

La règle générale : une condition linéaire homogène définit un sous-espace ; une condition qui multiplie des évaluations, ou qui fixe un degré exact, n'en définit pas. En revanche $\{P\mid \mathrm{deg}P\le 2\}$ en est un.