Un carré, un cube, et une relation

Ce qu'on montre. Deux puissances, puis une relation qui les relie à $A$ et $I_2$.

Le carré. $$A^2=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 2+1\cdot 0& 2\cdot 1+1\cdot 3\\ 0\cdot 2+3\cdot 0& 0\cdot 1+3\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 0& 9\end{array}\right).$$

Le cube. $$A^3=A^{2}A=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 0& 9\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 4+15\\ 0& 27\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 19\\ 0& 27\end{array}\right).$$

On remarque au passage que le produit de deux matrices triangulaires supérieures reste triangulaire supérieur, et que les coefficients diagonaux se multiplient entre eux : $2^n$ et $3^n$ apparaissent sur la diagonale.

La relation. Calculons le membre de droite : $$5A-6I_2=\left(\begin{array}{cc}10& 5\\ 0& 15\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 0& 9\end{array}\right).$$ C'est bien $A^2$ : la relation $A^2=5A-6I_2$ est vérifiée.

À quoi elle sert. Elle permet de calculer toutes les puissances de $A$ sans jamais faire de produit matriciel : $A^3=5A^2-6A=5(5A-6I_2)-6A=19A-30I_2$. Contrôle : $19A-30I_2=\left(\begin{array}{cc}38& 19\\ 0& 57\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}30& 0\\ 0& 30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 19\\ 0& 27\end{array}\right)$, qui est bien $A^3$.