Un polynôme annulateur donne l'inverse

On isole $I_n$ dans la relation :

$$A^2-3A=-2I_n⟹A(3I_n-A)=2I_n⟹A\cdot \frac{3I_n-A}{2}=I_n.$$

Le même calcul dans l'autre ordre donne $\frac{3I_n-A}{2}\cdot A=I_n$ (tout ici est polynomial en $A$, donc commute). Par conséquent $A$ est inversible et

$$A^{-1}=\frac{3I_n-A}{2}=\frac{1}{2}(3I_n-A).$$

La méthode, générale. Dès qu'un polynôme annulateur a un terme constant non nul, il donne l'inverse : de ${\sum }_k{a}_k{A}^k=0$ avec $a_0\ne 0$, on tire $A\left(-\frac{1}{a_0}{\sum }_{k\ge 1}{a}_k{A}^{k-1}\right)=I_n$.

Réciproquement, si le terme constant est nul, la conclusion tombe : $A^2=A$ n'entraîne pas l'inversibilité — la matrice nulle vérifie cette relation.

Une lecture supplémentaire. $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$, donc la relation se factorise en $(A-I_n)(A-2I_n)=0$ : le produit de deux matrices est nul sans qu'aucune des deux le soit, et c'est le terme constant $2\ne 0$ du polynôme qui donne l'inversibilité.