Un système compatible seulement pour certains seconds membres

Ce qu'on montre. Une condition de compatibilité portant sur le second membre, puis toutes les solutions lorsqu'elle est réalisée.

Le pivot. On retranche la première ligne aux deux autres — opération élémentaire, donc réversible : le système obtenu a exactement les mêmes solutions. $$\{\begin{array}{l}x+y+z=a\\ y+2z=b-a\\ 2y+4z=c-a\end{array}$$ Puis $L_3\leftarrow L_3-2L_2$ : $$\{\begin{array}{l}x+y+z=a\\ y+2z=b-a\\ 0=c-a-2(b-a)=a-2b+c.\end{array}$$

Discussion.

Si $a-2b+c\ne 0$, la troisième ligne est l'égalité impossible $0=a-2b+c$ : le système n'a aucune solution.

Si $a-2b+c=0$, la troisième ligne ne dit plus rien et il reste deux équations pour trois inconnues. On choisit $z=t$ comme paramètre, $t\in \mathbb{R}$ : $$y=b-a-2t,x=a-y-z=a-(b-a-2t)-t=2a-b+t.$$ L'ensemble des solutions est $$\mathcal{S}=\{(2a-b+t,b-a-2t,t)\mid t\in \mathbb{R}\}.$$

Point délicat. Le nombre d'inconnues n'a jamais changé : c'est le nombre d'équations indépendantes qui est tombé de trois à deux. La troisième ligne était combinaison des deux premières, ce que le pivot a révélé.

Contrôle. Prenons $a=b=c=1$, qui vérifie $1-2+1=0$. Les solutions annoncées sont $(1+t,-2t,t)$. Vérifions les trois équations : $$(1+t)+(-2t)+t=1;(1+t)-4t+3t=1;(1+t)-6t+5t=1.$$ Les trois sont satisfaites pour tout $t$.