Un système homogène et l'espace de ses solutions

Le pivot. On garde la première ligne comme pivot : $$L_2\leftarrow L_2-2L_1:-5y+5z=0,$$ $$L_3\leftarrow L_3-3L_1:-5y+5z=0.$$ Les deux lignes obtenues sont identiques : la troisième équation n'apportait rien de neuf. Le système équivaut donc à $$x+2y-z=0\text{et}y=z.$$ En reportant, $x=-2y+z=-2z+z=-z$. Les solutions sont donc les triplets $$(x,y,z)=(-z,z,z)=z(-1,1,1),z\in \mathbb{R}.$$

C'est un sous-espace vectoriel. L'ensemble $S$ des solutions est exactement $\mathrm{Vect}((-1,1,1))$ : un sous-espace engendré par une famille en est toujours un. On peut aussi le voir directement — $(0,0,0)$ vérifie les trois équations, et chaque équation appliquée à $\lambda u+\mu v$ est la même combinaison des équations vérifiées par $u$ et $v$, donc vaut $0$.

Une base. La famille $((-1,1,1))$ est génératrice par ce qui précède, et libre car $\lambda (-1,1,1)=(0,0,0)$ force $\lambda =0$. C'est donc une base, et $S$ est une droite vectorielle.

Contrôle. $(-1,1,1)$ dans les trois équations : $-1+2-1=0$, $-2-1+3=0$, $-3+1+2=0$.

Le point à retenir. Un système homogène ne peut jamais être impossible, le vecteur nul étant toujours solution : il ne reste que deux issues, la solution nulle seule ou une infinité. Et l'ensemble des solutions est toujours un sous-espace vectoriel, dont le pivot livre directement une famille génératrice — qu'il reste à reconnaître libre.