Une base de ${\mathbb{R}}^3$, et des coordonnées

Ce qu'on montre. Que la famille est libre et génératrice, puis les trois coordonnées demandées. Les deux points se traitent d'un coup en résolvant un système.

Le système général. Soit $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$. Cherchons les réels $a,b,c$ tels que $au+bv+cw=(x,y,z)$, c'est-à-dire $$(a+c,a+b,b+c)=(x,y,z),\text{soit}\{\begin{array}{l}a+c=x\\ a+b=y\\ b+c=z.\end{array}$$

Résolution. En additionnant les trois équations : $2(a+b+c)=x+y+z$, donc $$a+b+c=\frac{x+y+z}{2}.$$ En retranchant successivement chacune des trois équations à cette égalité : $$b=\frac{x+y+z}{2}-x=\frac{y+z-x}{2},c=\frac{x+z-y}{2},a=\frac{x+y-z}{2}.$$

Conclusion. Pour tout $(x,y,z)$ le système admet une solution, et une seule.

• L'existence pour tout second membre donne le caractère générateur.
• L'unicité — en particulier pour le second membre nul, qui donne $a=b=c=0$ — donne la liberté.

Donc $(u,v,w)$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$.

Les coordonnées de $(1,2,3)$. On applique les formules avec $x=1$, $y=2$, $z=3$ : $$a=\frac{1+2-3}{2}=0,b=\frac{2+3-1}{2}=2,c=\frac{1+3-2}{2}=1.$$

Contrôle. $0\cdot u+2v+w=(0,0,0)+(0,2,2)+(1,0,1)=(1,2,3)$. C'est bien le vecteur voulu.

Point délicat. Les coordonnées $(0,2,1)$ ne sont pas le vecteur $(1,2,3)$ : ce sont ses coordonnées dans cette base-là. Le même vecteur a pour coordonnées $(1,2,3)$ dans la base canonique. Une coordonnée n'a de sens qu'accompagnée de la base où on la lit.