Une base de ${\mathbb{R}}^2$, et des coordonnées

Ce qu'on montre. Que tout vecteur de ${\mathbb{R}}^2$ s'écrit d'une seule façon comme combinaison de $u$ et $v$ — ce qui est précisément la définition d'une base.

Le système général. Soit $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$. Cherchons $a,b$ tels que $au+bv=(x,y)$, c'est-à-dire $$\{\begin{array}{l}a+3b=x\\ 2a+5b=y.\end{array}$$

Résolution. $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ donne $-b=y-2x$, soit $$b=2x-y,\text{puis}a=x-3b=x-3(2x-y)=-5x+3y.$$

Conclusion. Pour tout $(x,y)$, le couple $(a,b)$ existe et est unique.

• L'existence pour tout $(x,y)$ signifie que la famille est génératrice.
• L'unicité, appliquée au cas $(x,y)=(0,0)$ qui donne $a=b=0$, signifie que la famille est libre.

Donc $(u,v)$ est une base de ${\mathbb{R}}^2$.

Les coordonnées de $(1,1)$. Avec $x=y=1$ : $$b=2-1=1,a=-5+3=-2.$$

Vérification : $-2u+1v=(-2,-4)+(3,5)=(1,1)$. C'est bien le vecteur voulu.

Contrôle rapide de la liberté. On pouvait aussi remarquer que $1\times 5-3\times 2=-1\ne 0$ : la matrice dont les colonnes sont $u$ et $v$ est inversible, ce qui garantit que le système a une solution unique pour tout second membre.