Une base de $R_{2} [x]$

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 3 — Algèbre linéaire · Familles libres, génératrices, bases

Énoncé

La famille $(1 + x, 1 - x, x^{2})$ est-elle une base de $R_{2} [x]$ ? Donner les coordonnées de $3 + x + 2 x^{2}$ dans cette base.

Elle est libre. Supposons $a (1 + x) + b (1 - x) + c x^{2} = 0$ . En regroupant :

$(a + b) + (a - b) x + c x^{2} = 0.$

Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients le sont, d'où $a + b = 0$ , $a - b = 0$ et $c = 0$ , donc $a = b = c = 0$ .

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