Une base de ${\mathbb{R}}_3[x]$ centrée en un point

La famille est bien dans ${\mathbb{R}}_3[x]$. Chaque $(x-a{)}^k$, pour $0\le k\le 3$, est de degré $k\le 3$.

Elle est libre. Supposons ${\lambda }_0+{\lambda }_1(x-a)+{\lambda }_2(x-a{)}^2+{\lambda }_3(x-a{)}^3=0$, égalité de polynômes. En $a$, tous les termes s'annulent sauf le premier : ${\lambda }_0=0$. On dérive et l'on évalue de nouveau en $a$ : ${\lambda }_1=0$. Une deuxième dérivation donne $2{\lambda }_2=0$, une troisième $6{\lambda }_3=0$. La famille est libre.

Elle est génératrice. C'est exactement la formule de Taylor pour un polynôme : pour tout $P\in {\mathbb{R}}_3[x]$, $$P(x)=\sum _{k=0}^3\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k,$$ égalité exacte puisque $\mathrm{deg}P\le 3$. Tout élément de ${\mathbb{R}}_3[x]$ est donc combinaison linéaire de $\mathcal{B}$. Libre et génératrice, $\mathcal{B}$ est une base.

Les coordonnées. Pour $P=x^3-2x+1$ et $a=1$ : $$P(1)=0,P^{\prime }(x)=3x^2-2\Rightarrow P^{\prime }(1)=1,$$ $$P^{\prime \prime }(x)=6x\Rightarrow \frac{P^{\prime \prime }(1)}{2!}=3,P^{\prime \prime \prime }(x)=6\Rightarrow \frac{P^{\prime \prime \prime }(1)}{3!}=1.$$ La matrice colonne des coordonnées est donc ${}^t(0,1,3,1)$.

Contrôle. $(x-1)+3(x-1{)}^2+(x-1{)}^3$ se développe en $(x-1)+3x^2-6x+3+x^3-3x^2+3x-1=x^3-2x+1$.

Le point à retenir. La formule de Taylor pour un polynôme est un changement de base dans ${\mathbb{R}}_n[x]$ : on quitte la base canonique $(1,x,\dots ,x^n)$ pour celle centrée en $a$, et les nouvelles coordonnées sont les $\frac{P^{(k)}(a)}{k!}$. L'unicité de la décomposition dans une base redit alors, mot pour mot, l'unicité de l'écriture de Taylor.