Une base de ${\mathbb{R}}_2[x]$

Elle est libre. Supposons $a(1+x)+b(1-x)+c{x}^2=0$. En regroupant :

$$(a+b)+(a-b)x+c{x}^2=0.$$

Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients le sont, d'où $a+b=0$, $a-b=0$ et $c=0$, donc $a=b=c=0$.

C'est donc une base. La famille est libre et compte $3$ vecteurs dans ${\mathbb{R}}_2[x]$, qui est de dimension $3$ : le théorème du cours conclut sans qu'il soit besoin de vérifier le caractère générateur.

Les coordonnées de $3+x+2x^2$. On résout $a(1+x)+b(1-x)+c{x}^2=3+x+2x^2$, soit

$$\{\begin{array}{l}a+b=3\\ a-b=1\\ c=2\end{array}⟺a=2,b=1,c=2.$$

Les coordonnées sont donc $(2,1,2)$, ce que la vérification confirme : $2(1+x)+(1-x)+2x^2=3+x+2x^2$.

Ce que « coordonnées » veut dire : ce triplet n'a de sens que relativement à cette base. Dans la base canonique $(1,x,x^2)$, le même polynôme a pour coordonnées $(3,1,2)$. Le vecteur ne change pas, sa description change.