Une famille échelonnée en degré est une base

Ce qu'on montre. Liberté puis caractère générateur, en n'utilisant que les degrés — les polynômes eux-mêmes restent inconnus.

Liberté. Soient ${\lambda }_0,\dots ,{\lambda }_n$ des réels tels que $$\sum _{k=0}^n{\lambda }_k{P}_k=0.$$ Supposons, par l'absurde, que les ${\lambda }_k$ ne soient pas tous nuls, et notons $m$ le plus grand indice tel que ${\lambda }_m\ne 0$. La somme s'écrit alors ${\sum }_{k=0}^m{\lambda }_k{P}_k$.

Pour $k<m$, $\mathrm{deg}{P}_k=k<m$ : aucun de ces polynômes ne contient de terme en $x^m$. En revanche ${\lambda }_m{P}_m$ a pour coefficient de $x^m$ le réel ${\lambda }_m{c}_m$, où $c_m\ne 0$ est le coefficient dominant de $P_m$. Le coefficient de $x^m$ dans la somme vaut donc ${\lambda }_m{c}_m\ne 0$, alors que la somme est le polynôme nul, dont tous les coefficients sont nuls. Contradiction.

Donc tous les ${\lambda }_k$ sont nuls : la famille est libre.

Caractère générateur. Montrons par récurrence forte sur $d$ la propriété $\mathcal{Q}(d)$ : « tout polynôme de degré $\le d$ est combinaison linéaire de $P_0,\dots ,P_n$ », pour $0\le d\le n$. On convient que le polynôme nul est la combinaison à coefficients tous nuls.

• Initialisation, $d=0$. Un polynôme constant $Q=q$ s'écrit $Q=\frac{q}{c_0}{P}_0$, où $c_0\ne 0$ est la valeur du polynôme constant non nul $P_0$.
• Hérédité. Soit $d\ge 1$, et supposons $\mathcal{Q}(d-1)$. Soit $Q$ de degré exactement $d$ (le cas $\mathrm{deg}Q<d$ relevant de $\mathcal{Q}(d-1)$), de coefficient dominant $q_d$. Posons $$R=Q-\frac{q_d}{c_d}{P}_d,$$ où $c_d\ne 0$ est le coefficient dominant de $P_d$. Par construction, les termes en $x^d$ se compensent exactement, donc $\mathrm{deg}R\le d-1$. Par $\mathcal{Q}(d-1)$, $R$ est combinaison linéaire des $P_k$ ; il en va donc de même de $$Q=R+\frac{q_d}{c_d}{P}_d.$$

Par récurrence, $\mathcal{Q}(n)$ est vraie : tout polynôme de ${\mathbb{R}}_n[x]$ est combinaison linéaire de la famille.

Conclusion. $(P_0,\dots ,P_n)$ est libre et génératrice : c'est une base de ${\mathbb{R}}_n[x]$.