Bornée et pourtant divergente

Ce qu'on montre. Qu'une suite bornée peut parfaitement diverger — et que la démonstration se fait avec des $\epsilon$, pas à vue.

La suite est bornée. Pour tout $n\ge 1$, $|(-1{)}^n|=1$ et $0<\frac{1}{n}\le 1$, donc $$|u_n|=1+\frac{1}{n}\le 2.$$ Ainsi $-2\le u_n\le 2$ pour tout $n$.

Deux paquets de termes. Pour $n$ pair, $u_n=1+\frac{1}{n}\ge 1$. Pour $n$ impair, $u_n=-\left(1+\frac{1}{n}\right)\le -1$. Aucun terme ne se trouve dans l'intervalle $\left]-1,1\right[$.

La suite ne converge pas. Raisonnons par l'absurde : supposons $u_n\to \ell$ pour un certain réel $\ell$. Appliquons la définition avec $\epsilon =\frac{1}{2}$ : il existe $n_0$ tel que $$\forall n\ge n_0,|u_n-\ell |\le \frac{1}{2}.$$ Choisissons un entier pair $p\ge n_0$ et un entier impair $q\ge n_0$ — il en existe toujours. Par l'inégalité triangulaire, $$|u_p-u_q|\le |u_p-\ell |+|\ell -u_q|\le \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$$ Or $u_p\ge 1$ et $u_q\le -1$, donc $$|u_p-u_q|=u_p-u_q\ge 1-(-1)=2.$$ On aboutit à $2\le 1$, ce qui est faux. L'hypothèse de convergence est donc à rejeter : $(u_n)$ diverge.

Les deux suites extraites. $$u_{2n}=1+\frac{1}{2n}⟶1,u_{2n+1}=-\left(1+\frac{1}{2n+1}\right)⟶-1.$$

Point délicat. Le choix $\epsilon =\frac{1}{2}$ n'est pas arbitraire : il est calibré pour que la « fourchette » de largeur $2\epsilon =1$ autour de $\ell$ ne puisse contenir à la fois des termes $\ge 1$ et des termes $\le -1$, qui sont distants d'au moins $2$. Avec $\epsilon =3$, l'argument ne donnerait rien.