Bornes atteintes ou non

$A=]0,1]$. $\sup A=\max A=1$, atteint pour $x=1$. $\inf A=0$, mais $0\notin A$ : il n'y a pas de minimum. Pour tout $\epsilon >0$, $\frac{\epsilon }{2}$ (si $\epsilon <2$) appartient à $A$ et est $<\epsilon$ : aucun minorant strictement positif ne convient.

$B=\{0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\dots \}$. $\inf B=\min B=0$, atteint pour $n=1$. La suite étant croissante et tendant vers $1$, $\sup B=1$ ; mais $1-\frac{1}{n}<1$ pour tout $n$, donc $1\notin B$ et il n'y a pas de maximum.

Le point de vocabulaire. La borne supérieure existe toujours pour une partie non vide majorée de $\mathbb{R}$ — c'est la propriété fondamentale de $\mathbb{R}$. Le maximum, lui, n'existe que si cette borne appartient à l'ensemble. Dire « max » là où il faut « sup » est l'erreur qui coûte le plus cher dans ce chapitre.