Ce que le passage à la limite conserve

Ce qu'on montre. Que le passage à la limite conserve les inégalités larges, et jamais les strictes.

Démonstration de $\ell \ge 0$, par l'absurde. Supposons $\ell <0$ et posons $\epsilon =-\ell >0$. Par définition de la convergence, il existe $n_0$ tel que $$\forall n\ge n_0,|u_n-\ell |\le \frac{\epsilon }{2}.$$ Pour un tel $n$, on a en particulier $u_n\le \ell +\frac{\epsilon }{2}=\ell -\frac{\ell }{2}=\frac{\ell }{2}<0$.

Cela contredit l'hypothèse $u_n>0$. L'hypothèse $\ell <0$ est donc à rejeter, et $\ell \ge 0$.

Non, on ne peut pas affirmer $\ell >0$. Le contre-exemple est immédiat : la suite $u_n=\frac{1}{n}$ (pour $n\ge 1$) vérifie $u_n>0$ pour tout $n$, et pourtant $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0.$$ La stricte positivité de tous les termes n'empêche pas la limite d'être nulle.

Ce qu'il faut retenir. Le passage à la limite « aplatit » les inégalités strictes en inégalités larges : $$\forall n,u_n>0⟹\ell \ge 0\text{(et pas }\ell >0\text{)}.$$ De même, si $u_n<v_n$ pour tout $n$ et si les deux suites convergent, on peut seulement conclure $\lim u_n\le \lim v_n$.

Un contre-exemple pour la version à deux suites. Avec $u_n=0$ et $v_n=\frac{1}{n}$ : on a $u_n<v_n$ pour tout $n\ge 1$, et pourtant les deux limites sont égales à $0$.