Croissante et majorée, donc convergente

Ce qu'on montre. Encadrement, monotonie, puis convergence par le théorème de la limite monotone.

L'encadrement, par récurrence. Notons $\mathcal{P}(n)$ : « $u_n$ est défini et $0\le u_n\le 2$ ».

• Initialisation : $u_0=0$ vérifie bien $0\le 0\le 2$.
• Hérédité : supposons $0\le u_n\le 2$. Alors $2\le 2+u_n\le 4$, donc $2+u_n\ge 0$ et $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$ est défini. La fonction racine carrée étant croissante, $$\sqrt{2}\le u_{n+1}\le \sqrt{4}=2,$$ et comme $\sqrt{2}\ge 0$, on a bien $0\le u_{n+1}\le 2$.

La croissance. Les termes étant positifs, comparons les carrés : $$u_{n+1}^2-u_n^2=(2+u_n)-u_n^2=-(u_n^2-u_n-2)=-(u_n-2)(u_n+1).$$ Or $0\le u_n\le 2$ donne $u_n-2\le 0$ et $u_n+1>0$, donc le produit $(u_n-2)(u_n+1)$ est négatif et $$u_{n+1}^2-u_n^2\ge 0.$$ Deux réels positifs se comparent comme leurs carrés, donc $u_{n+1}\ge u_n$ : la suite est croissante.

La convergence. $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$ : d'après le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel $\ell$, et $\ell \le 2$ (le passage à la limite conserve les inégalités larges).

La valeur de la limite. On élève la relation au carré pour éviter d'avoir à passer à la limite dans une racine : $$u_{n+1}^2=2+u_n.$$ Le membre de gauche tend vers ${\ell }^2$ (limite d'un produit), celui de droite vers $2+\ell$. Par unicité de la limite, $${\ell }^2=\ell +2⟺{\ell }^2-\ell -2=0⟺(\ell -2)(\ell +1)=0.$$ Donc $\ell =2$ ou $\ell =-1$. Comme $u_n\ge 0$ pour tout $n$, on a $\ell \ge 0$, ce qui élimine $-1$. Finalement $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2.$$

Point délicat. L'équation ${\ell }^2=\ell +2$ ne donne pas la limite à elle seule : elle en donne les candidats. C'est l'encadrement établi au début qui tranche entre eux. Une suite récurrente se traite toujours dans cet ordre : encadrement, monotonie, convergence, puis identification.