Deux inéquations avec valeur absolue

Ce qu'on montre. Deux ensembles de solutions, en revenant à la lecture géométrique de la valeur absolue.

Rappel. Pour $c>0$ : $|X|\le c⟺-c\le X\le c$, et $|X|\ge c⟺X\ge c$ ou $X\le -c$. Les mêmes équivalences valent avec des inégalités strictes.

Première inéquation. $|x-3|$ est la distance de $x$ à $3$. Donc $$|x-3|<1⟺-1<x-3<1⟺2<x<4.$$ L'ensemble des solutions est l'intervalle ouvert $\left]2,4\right[$ : les réels à distance strictement inférieure à $1$ du point $3$.

Seconde inéquation. Ici le cas $\ge$ conduit à une réunion, pas à un intervalle : $$|2x+1|\ge 3⟺2x+1\ge 3\text{ ou }2x+1\le -3.$$

• $2x+1\ge 3⟺2x\ge 2⟺x\ge 1$ ;
• $2x+1\le -3⟺2x\le -4⟺x\le -2$.

L'ensemble des solutions est $\left]-\infty ,-2\right]\cup \left[1,+\infty \right[$.

Point délicat. Une inégalité $|X|\ge c$ ne se traduit jamais par un encadrement : elle exprime un éloignement, donc deux morceaux disjoints. Écrire « $-3\le 2x+1\le 3$ » reviendrait à résoudre l'inéquation contraire.

Contrôles. $x=3$ : $|0|=0<1$, il est bien solution de la première ; $|7|=7\ge 3$, il est aussi solution de la seconde, ce qui est cohérent avec $3\ge 1$. $x=0$ : $|-3|=3<1$ est faux, et $|1|=1\ge 3$ est faux : $0$ n'est solution d'aucune des deux.