Deux limites par encadrement

Ce qu'on montre. Deux limites obtenues par le théorème d'encadrement, sans jamais chercher à décrire les oscillations.

Première suite. On ne connaît pas $\sin n$, mais on sait qu'il est borné : $-1\le \sin n\le 1$ pour tout $n$. En divisant par $n>0$, ce qui conserve le sens des inégalités : $$-\frac{1}{n}\le \frac{\sin n}{n}\le \frac{1}{n}.$$ Les deux suites encadrantes, $-\frac{1}{n}$ et $\frac{1}{n}$, tendent vers $0$. Le théorème d'encadrement donne $$u_n⟶0.$$

Seconde suite. De $-1\le (-1{)}^n\le 1$ on tire $n-1\le n+(-1{)}^n\le n+1$, puis, en divisant par $n+2>0$ : $$\frac{n-1}{n+2}\le v_n\le \frac{n+1}{n+2}.$$ Chacune des deux bornes est un quotient de polynômes de même degré : en factorisant $n$, $$\frac{n-1}{n+2}=\frac{1-\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}⟶1,\frac{n+1}{n+2}=\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}⟶1.$$ Les deux bornes ayant la même limite $1$, le théorème d'encadrement conclut : $$v_n⟶1.$$

Point délicat. Le théorème exige que les deux suites encadrantes convergent vers le même réel. Un encadrement entre deux suites de limites différentes ne prouve rien : il faut resserrer.

Contrôle numérique. $u_{100}=\frac{\sin 100}{100}\approx -0,0051$ ; $v_{100}=\frac{101}{102}\approx 0,990$ et $v_{101}=\frac{100}{103}\approx 0,971$ : les deux se rapprochent de $1$ malgré l'oscillation.