Deux limites, une quantité conjuguée

Ce qu'on montre. Deux limites qu'un même artifice permet d'atteindre. La forme $\infty -\infty$ est indéterminée : il faut la transformer.

La quantité conjuguée. Pour $n\ge 1$, en multipliant et divisant par $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$, qui est strictement positif donc non nul : $$u_n=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.$$ L'indétermination a disparu : le dénominateur tend vers $+\infty$, donc $$u_n⟶0.$$

La seconde suite. En reprenant l'expression obtenue : $$v_n=\sqrt{n}\times \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.$$ On divise numérateur et dénominateur par $\sqrt{n}$, qui est non nul : $$v_n=\frac{1}{\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}.$$ Comme $\frac{1}{n}\to 0$, on a $\sqrt{1+\frac{1}{n}}\to 1$, donc par quotient de limites (le dénominateur tendant vers $2\ne 0$), $$v_n⟶\frac{1}{2}.$$

Point délicat. $u_n\to 0$ et $\sqrt{n}\to +\infty$ : le produit $v_n$ est une forme indéterminée $0\times \infty$, et il aurait été faux d'en conclure quoi que ce soit sans calcul. La limite $\frac{1}{2}$, ni $0$ ni $+\infty$, le montre bien.

Contrôle numérique. Pour $n=100$ : $u_{100}=\sqrt{101}-10\approx 0,0499$, et $\frac{1}{2\sqrt{100}}=0,05$ ; $v_{100}\approx 0,499$.