Deux quotients de sommes

Ce qu'on montre. Deux limites, en remplaçant d'abord chaque somme par sa forme close — sans quoi le nombre de termes, qui grandit avec $n$, interdit tout passage à la limite terme à terme.

Première suite. $$u_n=\frac{1}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right).$$ Comme $\frac{1}{n}\to 0$, on obtient par opérations sur les limites $$u_n⟶\frac{1}{2}.$$

Seconde suite. $$v_n=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}.$$ On factorise $n$ dans chaque parenthèse : $$v_n=\frac{n^2\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)}{6n^2}=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)}{6}⟶\frac{1\times 2}{6}=\frac{1}{3}.$$

Point délicat, et l'erreur à ne pas commettre. On pourrait être tenté d'écrire $u_n$ comme la somme des $\frac{k}{n^2}$, de constater que chaque terme tend vers $0$, et de conclure $u_n\to 0$. C'est faux : le théorème sur la somme de limites porte sur un nombre fixé de termes, alors qu'ici ce nombre vaut $n$ et grandit. Les deux résultats obtenus, $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{3}$, ne sont pas nuls et le prouvent.

Contrôle numérique. Pour $n=10$ : $u_{10}=\frac{55}{100}=0,55$, à comparer à $0,5$ ; $v_{10}=\frac{385}{1000}=0,385$, à comparer à $\frac{1}{3}\approx 0,333$. Pour $n=1000$ : $u_n=0,5005$ et $v_n\approx 0,3338$.